第412章 安德鲁斯–柯蒂斯猜想

李东眨了眨眼。 这特麽不是彭罗斯和他的学生莎拉吗？ 彭罗斯教授现在正拿着手机打电话，莎拉站在旁边，怀里还抱着一台笔记本电脑。 说起来，李东真有些日子没见过他们了，上一次还是在香江的icm上，当然有还有一些小误会。 当时彭罗斯教授还红着老脸解释了一路，说莎拉弄出了一个不得了的东西，会後再跟他细说。 结果会後就没了下文。 “好像是安德鲁斯–柯蒂斯猜想吧。” 李东回忆了一下莎拉弄的东西。 这猜想名气不显，放数学界却是组合群论里挂了六十年的一桩悬案。 一九六五年，安德鲁斯和柯蒂斯两个人提出来的。 就是拿一个平衡呈示，也就是生成元和关系字一样多的那种，去呈示平凡群。 这个猜想断言：这样的呈示，总能靠几种规定好的初等变换，化回最平凡的样子。 打个比方，就像一个绳结。 已经知道它是能解开的，问题是：只许用规定的那几个手法，它是不是总解得开？ 听着像句废话，可六十年了，证的人证不出来，找反例的人也找不着。 不过学界主流的看法是：这猜想，多半是假的。 …… 李东慢慢的走了过去，先和莎拉打了个招呼，然後朝着彭罗斯点了点头。 “嗨，莎拉。” 莎拉也恭敬的说道。 “李东教授，您好。” 彭罗斯则是也朝着李东点了点头，还在和电话那头的人说话。 “还有多久能到？……好，好好好，行，那就这麽定了，落了地给我电话。” 然後挂断电话後，彭罗斯教授才惊喜的说道。 “东！” “好久没看到你了，你最近都在干嘛呀？” 李东的脸色有点古怪。 是我好久没见到你们吧？ 我特麽最近一直都在学校啊，也没见你们人呀。 不过吐槽归吐槽，他还是说道。 “最近捣鼓点人工智能的事。” “哦。”彭罗斯应了一声，明显没往心里去。 下一秒，老头像是突然想起了什麽。 “哎，东，你最近有时间没有啊？” 李东想了想。 大模型原型那边，具体的事得等林伟那边定下来。 好像，还真有点时间。 “有点。” 话音刚落，彭罗斯的脸腾地一下就红了，双手死死握住李东的手，然後用蹩脚的中文说道。 “同志。” 紧跟着又换回了英文。 “那你可得帮帮我啊！” 李东：…… 看着老头这副样子，他是真有点好奇了，不过他现在确实饿了。 “走，先去食堂吃点东西，边吃边说。” 彭罗斯点了点头，然後朝莎拉招了招手。 三人一道朝农园食堂走去。 …… 一路上，彭罗斯都在说莎拉的事。 李东这才知道，香江那句不得了的东西，真不是导师滤镜。 莎拉是真把安德鲁斯–柯蒂斯猜想放倒了，当然是在纲领的意义上。 事情要从一年多以前说起。 那会儿莎拉还跟着彭罗斯做解析数论，不知道哪天动了念头，一猛子紮进了拓扑。 而她还真有点李东的风范，一紮进去干的第一件事，就是先把全行的饭碗给砸了。 她证了一条下界定理。 所谓的下界，就是最少也得这麽多。 这条定理说的是：哪怕一个呈示明明是能化简的，把它化简到底所需要的步数，最少也可能多到塔函数级。 那这跟安德鲁斯–柯蒂斯猜想有什麽关系呢？ 关系就在证伪两个字上。 猜想说的是，这类绳结总解得开，想推翻它，就得找到一个解不开的反例。 可一个绳结解不开，要怎麽证明？ 六十年来，大家的土办法只有一个：扔给计算机去搜索，把所有的解法全试一遍，全失败了，那是不是就能将这个猜想证伪了呢？ 而莎拉这条定理，就是把这个土办法连根拔了。 它的回答是——当然不能，因为你不敢保证计算机的全部解法就是真的全部！有可能只是计算机的全部而已。 所以想给这个猜想判死刑，搜索这件兵器，算是废了。 那还剩什麽兵器？ 不变量。 这东西就是尺子：给每一个呈示量出一个读数，并且从数学上保证，只要是规定的那几种变换，随便怎麽变，读数都不会变动。 这把尺子一旦到手，证伪就成了一道算术题。 拿它量平凡呈示，读数是甲，再去量某个候选呈示，读数是乙。 只要甲不等於乙，那就全剧终了。 因为变换动不了读数，读数不同的两个东西，永远不可能互相变过去。 所以那个候选，就是反例！ 六十年的猜想当场就能被判死刑。 道理谁都懂。 问题是，六十年了，没有人造得出这把尺子。 因此莎拉砸完饭碗後，又去把六十年来所有人的失败翻了个遍，最後下了一句诊断。 墙不在猜想上，在尺子上。 平凡群的平衡呈示，是数学里天生的隐形人。 它们同调上一片死寂，又没有任何非平凡的商群。 说人话就是，凡是现成的经典尺子，去量这类对象，量谁读数都一样。 而读数全都一样的尺子，就等於没有尺子。 於是莎拉自己动手，从张量范畴里搭出了一把新尺子。 然而结果却是…… 这把新尺子量这种对象，照样全瞎。 接着她又想从物理那边借兵器，可是结果也一样。 所以经典的不行，新造的不行，外借的也不行，想证伪这个猜想，就这麽被她砌成了三面墙。 换个一般人，到这儿多半就放弃了。 可莎拉盯着这三面墙看了几个月，终於看到了一条缝。 三面墙拚在一起，反过来恰好画出了能用的那把尺子的样子。 她照着造了出来，取名挠精化不变量。 信息藏进代数结构最底下的根基里，读数活在有限环上，专门去量经典尺子量不了的东西。 现在只差最後一步：证明那几种变换确实动不了它的读数。 可问题是这一步被拆成了十一万条恒等式，每一条都是非交换环里上千个符号的精确硬算，错一条，整把尺子就废了。 按照一个熟手一天啃两三条算，这活儿交给一个人，得干上两百年。 就算凑出二十个熟手一起上，也得闷头啃整整十年，而现成的计算机代数系统，没有一个支持这种取值方式的精确运算。 这两个月，彭罗斯带着莎拉满世界飞，前前後後拉来了十几位同行分头啃。 到今天也才啃下来几百条。